Gevarieerd tellen. Combinatoriek bij Wiskunde A

Door Sean Hubert, Jade Lindert, Kees Peters, en Lara Supardi.

Combinatoriek bij Wiskunde A

Met dit project willen we graag leerlingen ondersteunen om hun eindexamens Wiskunde A zo goed mogelijk af te maken. Hiernaast is dit project ook voor wiskundedocenten relevant, want het materiaal wat we hebben gemaakt voor de leerlingen om mee te werken in de lessen geeft een duidelijk overzicht van de stof en een goede collectie opgaven voor het onderwerp combinatoriek. De docenten kunnen dit voor toekomstige examenklassen wiskunde A gebruiken. Dit scheelt voor hen voorbereiding van de lessen.

Naast ervoor zorgen dat de leerlingen hun eindexamen goed zouden afsluiten, heeft het leren van combinatoriek aan middelbare school leerlingen ook nog maatschappelijk belang. Een onderzoek over het effect van het leren van combinatorisch redeneren aan middelbare scholieren wijst uit dat dit nuttig kan zijn, zie Stofflett and Baker (1992). Significante vooruitgang in combinatorisch redeneren werd gevonden bij de leerlingen in de getrainde groepen vergeleken met de ongetrainde groep. Ook wekte het leren van nieuwe concepten in andere bètavakken minder frustratie op. De ongetrainde groep liet geen verbetering van combinatorisch redeneren zien, wat doet vermoeden dat leerlingen dit niet zonder training en instructie leren.

Bij de relevantie van combinatoriek in het eindexamen hoort niet alleen de theoretische stof, maar ook de manier van het vragen stellen. Bij een eindexamen wiskunde A is namelijk één van de moeilijkheden om de lange teksten goed te begrijpen. Eigenlijk is het maken van dit soort vragen dus ook begrijpend lezen. Dit is natuurlijk in het dagelijks leven heel nuttig. Hoe vaak moeten we wel niet een lange tekst lezen, waar waarschijnlijk maar een beperkte hoeveelheid nuttige informatie in staat? De nuttige informatie van de niet nuttige informatie onderscheiden, wordt dus ook getraind door het wiskunde A eindexamen. Je zou je natuurlijk wel kunnen afvragen in hoeverre er nog wiskunde wordt getoetst bij dit soort vragen.

Leerdoelen

De soorten problemen in het wiskunde A programma kunnen ingedeeld worden in 4 onderwerpen, namelijk:

1. permutatie;
2. variatie;
3. herhalingsvariatie;
4. combinatie.

Het doel was om deze leerlingen beter voor te bereiden op de examenvragen die tot de combinatoriek behoren. We wilden de vier onderwerpen gebruiken om structuur en duidelijkheid te geven aan de leerlingen zodat ze deze beter van elkaar konden onderscheiden. Elk van deze onderwerpen heeft namelijk zijn eigen strategieën en formules.

Voor het opstellen van ons projectplan hebben we een gesprek met Maaike en Marjolein gehad. Zij hebben aangegeven dat de leerlingen moeite hadden om bij een vraag in te zien welke oplosmethode er nodig was. Dat leerlingen hier moeite mee hebben, blijkt ook uit onderzoek zoals wordt beschreven in Lockwood and Gibson (2016). Daarnaast zagen wij dat er in examenvragen ontzettend veel tekst staat. Wij vonden het belangrijk dat je eerst het probleem concreet kan maken voordat je het gaat oplossen. Om dit allemaal op een rij te hebben, hebben wij de volgende leerdoelen geformuleerd:

1. De leerling begrijpt de volgende concepten: permutatie, variatie, herhalingsvariatie en combinatie. Een leerling heeft begrip van een concept wanneer de leerling weet welke formule daarbij hoort en de formule op de juiste manier kan gebruiken.
2. De leerling kan een probleem classificeren aan de hand van de genoemde concepten. Een leerling kan uit de context van de vraag halen en aan signaalwoorden herkennen welk concept bij de vraag hoort.
3. De leerling kan een probleem waar veel tekst in staat, ontleden tot een concreet probleem. In een examenopgave staat vaak veel overbodige tekst waardoor in sommige gevallen verhult wordt wat de vraag concreet is.

Didactiek, lesplan en materiaal

De leerlingen hebben in groepjes van twee gewerkt. Wij hebben hiervoor gekozen, omdat uit het onderzoek Schuit et al. (2011) van de Open Universiteit blijkt dat voor samenwerking in grotere groepen, in dit onderzoek groepen van 4, de opdracht speciaal gemaakt moet zijn om samen aan te werken. Aangezien het voor ons project belangrijk was dat de leerlingen oefenden met examenopdrachten, die dus niet speciaal ontworpen zijn voor samenwerking, hebben wij gekozen voor kleinere groepen.

Les 1 was voornamelijk gericht op leerdoelen 1 en 2. Wij hebben een presentatie voorbereid van 10 minuten waarin Sean en Lara het geheugen van de leerlingen opgefrist hebben. Voor elk onderwerp hebben we de belangrijkste formules laten zien en uitgelegd met behulp van een voorbeeld. Ook hebben we in de presentatie verteld hoe je aan een vraag kunt herkennen welk onderwerp erbij hoort en dus welke formules je moet gebruiken. Dit was voor de leerlingen dan ook het moment om vragen te stellen over de concepten zonder dat ze meteen gericht waren op het maken van vragen. Wij hebben voor de leerlingen een opgavenbundel samengesteld waarmee zij in de les aan de slag konden gaan. Om te beginnen was er een aantal basisopgaven voorbereid, gesorteerd op onderwerp. Dit met als doel de leerlingen het goede pad op te leiden. Aan het eind van de opgavenbundel staan 5 uitdagendere opgaven, de steropgaven. Deze opgaven zijn niet gesorteerd en er kunnen meerdere technieken of formules nodig zijn. Al deze opgaven hebben we gehaald uit het boek Getal & Ruimte GeR (2021). Dit is hetzelfde boek dat de leerlingen hebben gebruikt in de vierde klas vwo toen ze voor het eerst aan de slag gingen met combinatoriek.

De leerlingen hebben het grootste deel van de les aan de opgaven gewerkt. We hebben de leerlingen de mogelijkheid gegeven om de basisopgaven over te slaan als zij van zichzelf vonden dat ze de stof goed genoeg beheersden. De steropgaven zijn namelijk meer op het niveau van het Centrale Eindexamen. In deze les hebben we met zijn vieren rondgelopen om vragen te beantwoorden, en leerlingen opweg te helpen als ze vast liepen. Tijdens het verloop van de les bepaalden we welke opgave Jade voor ging doen op het bord, gebaseerd op waar de leerlingen veel moeite mee bleken te hebben.

Les 2 was voornamelijk gericht op leerdoelen 2 en 3. Voor deze les heeft Kees een presentatie gegeven waarin hij een examenopdracht samen met de leerlingen heeft uitgewerkt. Hierdoor konden de leerlingen een idee krijgen hoe je een grote opdracht met veel tekst aanpakt. Hiervoor hebben we de volgende stappen gebruikt.

1. Lees als eerste de vraag voordat je de lap tekst ervoor leest. Dan weet je waar naar welke informatie je opzoek bent.
2. Begin met lezen van de tekst voor de vraag en onderstreep of markeer belangrijke informatie. Denk hierbij aan getallen, formules, etc. Dit doe je zodat je niet opnieuw de tekst hoeft te lezen als je het even niet meer weet.
3. Maak de opgave concreet: wat wordt er precies gevraagd?
4. Welke formule is er nodig om het antwoord te vinden?
5. Pas de formule toe en schrijf je antwoord op.
6. Controleer of je daadwerkelijk antwoord geeft op de vraag. Deze stap is ontzettend belangrijk.

Ook voor deze les hebben we een opgavenbundel samengesteld. Alle vragen voor deze bundel hebben we gehaald uit oude examens, zie Explicaro. Deze opgaven waren niet gesorteerd en hadden als doel dat de leerlingen gewend raakten aan de manier waarop de vragen in het examen worden gesteld. Het examen geeft vaak erg lange teksten en daar moeten ze mee leren werken. Tijdens de les hebben de leerlingen aan de examenopdrachten gewerkt en wij liepen rond om tips en uitleg te geven, dit deden we bijvoorbeeld door te verwijzen naar het stappenplan.