De Stelling van Descartes

Studenten Koen van Baar, Wiebe Hoving, en Hamza Yusuf hebben twee lesboekjes gemaakt voor leerlingen van bovenbouw wiskunde D. Het eerste boekje behandelt de formule van Euler voor veelvlakken en het tweede boekje draait om ons hoofdonderwerp de stelling van Descartes.

Door Koen van Baar, Wiebe Hoving, en Hamza Yusuf.

De Stelling van Descartes: een minder bekend juweeltje

Als we meetkundeles krijgen dan leren we veel resultaten over meetkundige contructies in twee dimensies. We leren dat de som van de hoeken van een driehoek altijd gelijk is aan 180 graden, maar ook hoe we de som van alle hoeken in een regelmatige veelhoek kunnen bepalen. We werken tevens minder met objecten in drie dimensies. Een resultaat dat we vaak leren op school is de formule van Euler voor convexe veelvlakken, namelijk dat H-R+F = 2. De stelling van Descartes is een juweeltje uit de meetkunde die minder bekend is, het gaat over de hoeken van veelvlakken en luidt als volgt:

Als we de defecten van hoeken van verschillende veelvlakken bij elkaar optellen, blijken we telkens weer 720 graden te krijgen. Dit is een verrassend resultaat. Het blijkt dat voor elk veelvlak dat convex is, het totale defect van de hoeken gelijk is aan 720 graden. Convex betekent dat een lijn tussen twee punten op het veelvlak altijd in het veelvlak zelf zit. Dit houdt in dat het veelvlak geen indeukingen of gaten mag hebben. Het feit dat elk convex veelvlak een totaal hoektekort van 720 graden heeft, wordt ook wel de stelling van Descartes genoemd. In de volgende opgaves zal je de stelling zelf bewijzen.

In dit project hebben we twee boekjes gemaakt over de stelling van Euler en de stelling van Descartes. Deze zijn bedoeld voor leerlingen maar ook docenten die een les willen geven over meetkunde in drie dimensies.

De twee lesboekjes zijn hier te vinden. Het eerste gaat over de formule van Euler voor veelvlakken, het tweede over de stelling van Descartes.

Leerdoelen boekjes

Na het maken van opdrachten weten de leerlingen:
  1. wat een graaf is en begrijpen ze intuïtief wat een samenhangende graaf en planaire graaf zijn;
  2. wat de formule van Euler voor veelvlakken is en kunnen de formule in de juiste gevallen hanteren om logische conclusies te trekken;
  3. hoe ze een schlegeldiagram moeten tekenen bij relatief simpele veelvlakken;
  4. hoe de formule van Euler voor veelvlakken volgt uit convexe veelvlakken representeren als schlegeldiagrammen;
  5. hoe ze het hoekdefect van een individueel hoekpunt en het totale hoekdefect van een veelvlak kunnen berekenen;
  6. wat de stelling van Descartes is;
  7. hoe het bewijs van de stelling van Descartes volgt uit de formule van Euler voor veelvlakken.

We hebben besloten om het lesboekje op te delen in twee delen. Het eerste deel gaat over de stelling van Euler voor planaire grafen. Deze stelling is geschikt voor middelbare schoolniveau aangezien hij op sommige middelbare scholen al wordt onderwezen. Ook is het mogelijk om wat uitdagendere vragen te stellen waarbij de stelling gebruikt moet worden. Deze hebben we dan ook toegevoegd aan het eerste boekje.

In het eerste boekje hebben we het voornamelijk over leerdoelen 1, 2, 3 en 4. We introduceren eerst het concept van een graaf. We leggen hierbij ook uit wat een samenhangende graaf is en wat een planaire graaf is. Dit zijn namelijk concepten die belangrijk zijn voor de stelling van Descartes. We laten de leerling ook een aantal vragen beantwoorden over dit soort grafen in het algemeen. Vervolgens wekken we vermoeden van een verband tussen het aantal punten, lijnen en facetten in een graaf, introduceren we de formule van Euler en laten we leerling schlegeldiagrammen maken bij verschillende veelvlakken. Ten slotte, met behulp van voorbeelden van simpele veelvlakken zoals een kubus of tetraëder laten we in het eerste boekje zien hoe aan de hand van planaire grafen en schlegeldiagrammen we de formule van Euler voor veelvlakken verkrijgen.

In het tweede boekje behandelen we leerdoelen 5, 6 en 7. We gaan in op de stelling van Descartes. We beginnen eerst met het hoektekort uit te leggen voor figuren in 2D. Vervolgens gaan de leerlingen aan de slag met het hoektekort in 3D. In dit stukje leggen we ook de stelling van Descartes uit. Ten slotte laten we de leerling in kleine stapjes de stelling van Descartes bewijzen. In beide lesboekjes proberen we zo veel mogelijk de leerling zelf te verbanden in te zien. In het lesboekje voor de formule van Euler voor veelvlakken laten we de leerling zelf H - R + Z berekenen. Hierdoor komen ze zelf achter dat het blijkbaar steeds 2 blijkt te zijn. Bij het lesboekje voor de stelling van Descartes laten we de leerling ook zelf het totale hoektekort berekenen van een veelvlak. Hierdoor merken ze zelf op dat het telkens 720 graden blijkt te zijn. Door deze aanpak hopen we de leerling zelf nieuwsgierig te maken en verwachten we dat de leerling de stof ook beter gaat snappen en onthouden.

Op de NWD en feedback van docenten

Bij het NWD besloten we een aantal onderwerpen die ter sprake komen in ons lesboekje uit te leggen. Hierbij lieten we de leraren veel gebruik maken van de leskist zelf. In het begin lieten we de docenten een tijdje veelvlakken maken met de leskist. Vervolgens gingen docenten zelf het totale hoektekort berekenen van hun gemaakte veelvlakken. Hierbij kwamen alle docenten op het antwoord 720 graden.

Na de uitleg van de stelling van Descartes, werd er een moeilijke vraag gesteld die we in het lesboekje hebben toegevoegd. Na een korte pauze gingen we verder in op schlegeldiagrammen en de formule van Euler voor veelvlakken. Docenten moesten zelf schlegeldiagrammen tekenen bij de veelvlakken en ook zelf de formule verifiëren bij allerlei veelvlakken. Ten slotte werd de stelling van Descartes bewezen aan de hand van de formule van Euler voor veelvlakken.

Na de workshop kregen we allerlei feedback van docenten die meededen. Deze feedback was grotendeels zeer positief. In het algemeen waren de docenten zeer enthousiast over dit initiatie en ook op de manier hoe de workshop was gegeven. Hiernaast hebben we wat tips gekregen dat bepaalde onderwerpen helderder uitgelegd konden worden. Hierop hebben we onze uitleg over schlegeldiagrammen verbeterd en helderder gemaakt voor de leerling. Voor een andere keer zouden we betere vragen willen stellen voor het feedbackformulier. In dit opzicht was het namelijk heel lastig om de feedback van docenten te interpreteren en kregen we soms conflicterende antwoorden zonder voldoende uitleg. Na de workshop moesten we alleen nog de twee lesboekjes afmaken.

Wij hebben de opdracht om dit lesmateriaal te maken gekregen van Peter Ypma, omdat er te weinig uitdagend lesmateriaal bij de leskist zit voor HAVO/VWO klassen. Hierdoor is het minder aantrekkelijk voor docenten van HAVO/VWO klassen om lessen met de leskist te organiseren, en Peter wil dat dit veranderd wordt. Het lesboekje dat wij gemaakt hebben is een waardevolle aanvulling voor de kist voor gebruik in de middelbare school. Uit een gesprek met Peter bleek dat de huidige lesstof gebruikt wordt door klassen uit de basisschool of het VMBO, maar dat het te makkelijk was voor HAVO/VWO.

Uit de feedback van de workshop kwam dat ons lesboekje goed bij het niveau van het einde van de onderbouw van HAVO/VWO. Hierbij is het belangrijk om in het achterhoofd te houden dat wij samen met de docenten tijdens de workshop door het bewijs van de stelling zijn gelopen in plaats van dat zij dat voor het merendeel zelfstandig deden. Aangezien het bewijzen van de stelling het moeilijkste deel van de inhoud van de stof is zal het niveau stijgen naar ongeveer VWO 4 als de leerlingen dit op zichzelf gaan doen.

Wij denken dat het voor beide groepen leuk is om met iets anders dan de reguliere lesstof bezig te zijn, het de onderbouw een beeld geeft van wiskunde D en bekend maakt met een bewijs en de bovenbouw krijgt een beeld van wiskunde als studie, en een leuk bewijs in 3 dimensies leert, wat ze momenteel niet doen in hun curriculum.