Door Yiyuan Chen, Giacomo Grevink, Jelle Groot en Meike de Jong.
Muziek en wiskunde worden vaak gezien als twee compleet verschillende vakgebieden. Pianiste Petra Cini probeert dit idee te verbreken door wiskundige concepten te verwerken in muziekstukken. Gedreven door een passie voor muziek en een interesse in groepentheorie schreef ze een piano etude geïnspireerd door de groep $D_3$. Na deze relatief eenvoudige groep te hebben bestudeerd, besloot ze om de wiskunde een stapje verder te nemen. De etudes die volgden, de SO(3) etudes, waren ge¨ınspireerd door een veel ingewikkeldere groep. SO(3) is namelijk, in tegenstelling tot $D_3$, een oneindige groep, en zelfs een Lie-groep.
Petra Cini is een Italiaanse pianiste en componiste. Zij woont momenteel in Den Haag waar zij haar Master in compositie aan het afronden is aan het Koninklijk Conservatorium van Den Haag. In haar composities probeert zij zo veel mogelijk wiskundige groepen te verwerken. Dit maakt haar composities representaties van de desbetreffende groepen. Het project waar Petra momenteel mee bezig is, is The Musical Metaphor and Representation Theory</i>. Voor dit project heeft zij een beurs gekregen van Stichting De Zaaier. Samen met wiskundigen Raf Bocklandt en Eric Opdam werkt zij nu aan het beschrijven van Lie-groepen met haar muziek.
Onze opdracht was het schrijven van een uitgebreid programmaboekje dat zowel interessant zou zijn voor het brede publiek als voor het wiskundige publiek dat is komen kijken naar de opvoering van Petra. We hebben gekozen voor een hoofdstuk structuur waarbij we eerst wat vertelden over de geschiedenis van Lie groepen, daarna groepen intu¨ıtief uitlegden, om vervolgens dieper op Lie groepen in te gaan met focus op de Lie groep SO(3), om ten slotte te eindigen met uitleg over Lie algebra’s.
Om rekening te houden met het feit dat het grootste deel van het publiek geen formele wiskundige training heeft gevolgd, hebben we ervoor gekozen om groepentheorie aan de hand van een voorbeeld uit te leggen, in plaats van aan de hand van de axioma’s. Het voorbeeld dat we hiervoor hebben gekozen, is een gelijkzijdige driehoek, omdat dit figuur een makkelijke maar ook niet triviale structuur heeft. Om symmetrie¨en uit te leggen, beginnen we eerst met de dagelijkse definitie van symmetrie, de spiegelsymmetrie. Vervolgens veralgemeniseren we het concept van symmetrie naar transformaties die een object invariant houdt. Door symmetrie op deze manier te formuleren kunnen we rotaties ook classificeren als een soort symmetrie. We maken vervolgens duidelijk dat de genoemde transformaties (spiegelen, roteren, en ook het niets doen) groepselementen zijn. Ten slotte laten we de belangrijkste eigenschap van een groep zien: de combinaties van groepselementen zijn weer groepselementen.